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By Hans-H. Ostmann

Bereits seit längerer Zeit hat sich die additive Zahlentheorie als gesonderter Zweig innerhalb der Zahlentheorie herausgebildet; aber erst in den letzten Jahrzehnten hat dieses Gebiet neue Antriebe erhalten. In der klassischen additiven Zahlentheorie waren die Untersuchungs­ objekte im wesentlichen solche Fragestellungen, die an ganz spezielle Zahlenmengen geknüpft sind, wie etwa das GOLDBAcHsche oder das WARINGSche challenge. Diese bei den Probleme waren es aber auch, die den Anstoß zu einer neuen Entwicklung in der additiven Zahlentheorie gaben, als 1930 SCHNIRELMANN in seiner fundamentalen Arbeit "über additive Eigenschaften von Zahlen" [lJ einen neuen Zugang zu den ge­ nannten Problemen fand. SCHNIRELMANN entwickelte nämlich zunächst eine Theorie, die ganz von der speziellen Natur der Primzahlen bzw. der k-ten Potenzen absah und sich allgemein auf Mengen natürlicher Zahlen bezog. Jeder solchen Menge wird eine reelle Zahl, die "Dichte" zuge­ ordnet, die in gewissem Sinn ein Maß dafür ist, welcher Anteil aus der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen der gegebenen Menge angehört. An Stelle der arithmetischen Natur der Zahlenmenge tritt additionally ein in dieser Weise zu verstehender metrischer Gesichtspunkt. Indem ferner noch die Summe solcher Mengen eingeführt wurde, zeigte sich, daß bereits in großer Allgemeinheit wesentliche Aussagen gemacht werden konnten. In Anschluß an SCHNIRELMANN hat diese allgemeine Theorie der Zahl­ mengen immer neue Impulse erhalten; somit schien für den vorliegen­ den Bericht ziemlich zwangsläufig eine grobe Gliederung durch die Stichworte "Summe", "Dichte", bzw. "spezielle Mengen" gegeben zu sein.

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Bereits seit längerer Zeit hat sich die additive Zahlentheorie als gesonderter Zweig innerhalb der Zahlentheorie herausgebildet; aber erst in den letzten Jahrzehnten hat dieses Gebiet neue Antriebe erhalten. In der klassischen additiven Zahlentheorie waren die Untersuchungs­ objekte im wesentlichen solche Fragestellungen, die an ganz spezielle Zahlenmengen geknüpft sind, wie etwa das GOLDBAcHsche oder das WARINGSche challenge. Diese bei den Probleme waren es aber auch, die den Anstoß zu einer neuen Entwicklung in der additiven Zahlentheorie gaben, als 1930 SCHNIRELMANN in seiner fundamentalen Arbeit "über additive Eigenschaften von Zahlen" [lJ einen neuen Zugang zu den ge­ nannten Problemen fand. SCHNIRELMANN entwickelte nämlich zunächst eine Theorie, die ganz von der speziellen Natur der Primzahlen bzw. der k-ten Potenzen absah und sich allgemein auf Mengen natürlicher Zahlen bezog. Jeder solchen Menge wird eine reelle Zahl, die "Dichte" zuge­ ordnet, die in gewissem Sinn ein Maß dafür ist, welcher Anteil aus der Gesamtheit aller natürlichen Zahlen der gegebenen Menge angehört. An Stelle der arithmetischen Natur der Zahlenmenge tritt additionally ein in dieser Weise zu verstehender metrischer Gesichtspunkt. Indem ferner noch die Summe solcher Mengen eingeführt wurde, zeigte sich, daß bereits in großer Allgemeinheit wesentliche Aussagen gemacht werden konnten. In Anschluß an SCHNIRELMANN hat diese allgemeine Theorie der Zahl­ mengen immer neue Impulse erhalten; somit schien für den vorliegen­ den Bericht ziemlich zwangsläufig eine grobe Gliederung durch die Stichworte "Summe", "Dichte", bzw. "spezielle Mengen" gegeben zu sein.

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5) zu zerlegen; denn es gilt, wie leicht ersichtlich, Satz 3. J(x;~l> ... '~n)=J(X;{cl}+~l> ... EB). 2. I v=1 ~v, s ~ 00, ist häufig die Frage nach der Anzahl k (c; ~l> ~2' ••• ) aller Darstellungen - Kompositionen oder Zergliederungen genannt - eines cE (t in der Form (7) von Wichtigkeit. Man beachte, daß unter Umständen Darstellungen mit gleichen Summanden aber verschiedener Anordnung auftreten können, die dann durch k (c; ~1' ~2' ••• ) entsprechend oft gezählt werden. Hingegen bedeute p (c; ~1' ~2' ••• ) die Anzahl der Darstellungen (7) ohne Berücksichtigung der Anordnung - Partitionen genannt.

Anzahlfunktion, Kompositionen, Partitionen. benen Methoden auf den Fall, daß die zu addierenden Mengen nicht sämtlich einander gleich sind, ist evident. 4. In diesem Abschnitt sei, wenn nichts anderes gesagt, stets m: = bzw. 8(0) vorausgesetzt. 8(0». Teilt man nämlich die Kompositionen von n ein in solche, die mit 1 und solche, die mit Summanden a > 1 beginnen, so ist deren erstere Anzahl offenbar gleich k (n - 1). Die übrigen entstehen aber aus denjenigen Kompositionen von n - 1, die mit a - 1 beginnen, indem nämlich der erste Summand jeweils um 1 erhöht wird.

Ist 1 Solange es sich um die Herleitung von Identitäten handelt, genügt zumeist der Einfachheit halber der letztere Standpunkt, gegebenenfalls auch in mehreren Erzeugenden (Unbestimmten). I • ;,;;om! , n=ln S wenn 0 Ef im ist . 1 An Stelle der Elementefremdheit genügt es zu fordern, daß eine natürliche Zahl in höchstens endlich vielen der \HQ enthalten ist. 2 Man bestätigt auch unschwer: Ein Produkt formaler ganzer Potenzreihen verschwindet dann und nur dann, wenn ein Faktor verschwindet oder unendlich oft avo = 0 ist.

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