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By Hugo Alberto Rincón Mejía

Introducci ́on
Este texto contiene el fabric de los cursos A ́lgebra Lineal I y A ́lgebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios an ̃os. Tiene algunas caracter ́ısticas especiales:
Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que los angeles definicio ́n de Espacio vectorial puede resultar muy com- plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma.
En el cap ́ıtulo de Espacios vectoriales, no so ́lo se demuestra los angeles existencia de bases, sino que se da una demostraci ́on de que las bases para un espacio vec- torial tienen el mismo cardinal.
La demostracio ́n es una aplicaci ́on del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles.
Se presentan dos cap ́ıtulos acerca de espacios con producto inside. El primer cap ́ıtulo incluye los angeles teor ́ıa que los estudiantes de F ́ısica necesitan con urgencia, mientras que el u ́ltimo cap ́ıtulo united states los angeles teor ́ıa de espacios invariantes. En este cap ́ıtulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de F ́ısica cu ́antica.
Se hacen ejemplos detallados de c ́alculos de formas cano ́nicas y se hace ́enfasis en los angeles teor ́ıa de diagonalizacio ́n simulta ́nea. Como aplicacio ́n, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza l. a. situacio ́n en que las potencias de una matriz cuadrada convergen.

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Introducci ́on
Este texto contiene el fabric de los cursos A ́lgebra Lineal I y A ́lgebra Lineal II como los he impartido a lo largo de varios an ̃os. Tiene algunas caracter ́ısticas especiales:
Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto es porque pienso que los angeles definicio ́n de Espacio vectorial puede resultar muy com- plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuencias de cada axioma.
En el cap ́ıtulo de Espacios vectoriales, no so ́lo se demuestra los angeles existencia de bases, sino que se da una demostraci ́on de que las bases para un espacio vec- torial tienen el mismo cardinal.
La demostracio ́n es una aplicaci ́on del Lema de Zorn, en donde se puso mucho cuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles.
Se presentan dos cap ́ıtulos acerca de espacios con producto inside. El primer cap ́ıtulo incluye los angeles teor ́ıa que los estudiantes de F ́ısica necesitan con urgencia, mientras que el u ́ltimo cap ́ıtulo united states los angeles teor ́ıa de espacios invariantes. En este cap ́ıtulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que son tan importantes para los estudiantes de F ́ısica cu ́antica.
Se hacen ejemplos detallados de c ́alculos de formas cano ́nicas y se hace ́enfasis en los angeles teor ́ıa de diagonalizacio ́n simulta ́nea. Como aplicacio ́n, se presentan las cadenas de Markov, y se caracteriza l. a. situacio ́n en que las potencias de una matriz cuadrada convergen.

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A.

2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 27 Definici´ on 23 Dada {Z }M[ una familia de subespacios de I Y , definimos X ¢ ¡ {Z }M[ =: L ^ {Z }M[ = Es decir, la suma de una familia de subespacios es el subespacio de I Y generado por la uni´on de la familia de subespacios. P Teorema 8 {Z }M[ es el menor subespacio de Y que incluye cada Z = Demostraci´ on. Primero notemos que X ¡ ¢ Z  ^ {Z }M[  L ^ {Z }M[ =: {Z }M[ = Ahora, si Z  ] 6 Y , ; 5 [, entonces ^ {Z }M[  ], por lo que ¡ ¢ L ^ {Z }M[ 6 ]= ¡ ¢ P De lo anterior, vemos que L ^ {Z }M[ = {Z }M[ es el menor subespacio que incluye a cada Z .

Sean x y y dos supremos para D. Entonces x> y 5 D = Como x es el menor elemento de D y y 5 D > entonces x 6 y. Por simetr´ıa, y 6 x= As´ı que x = y= Notaci´ on 4 Escribiremos d ? e ´o d ¡ e> para indicar que d 6 e a d 6= e= Observaci´ on 22 Sea D  V> (V> 6) un COPO. Son equivalentes para x 5 V : x no es el supremo de D= x no es cota superior de D b (x es cota superior de D, pero no es la menor). ( tal que y ? x)Las definiciones anteriores nos servir´an para demostrar resultados para espacios vectoriales no necesariamente finitamente generados.

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